Прежде, чем отправиться в краткое путешествие в область численного анализа, остановимся на минуту на двух важнейших аналитических вопросах — существовании и единственности решения задачи Коши. Разумно предположить, что прежде, чем мы попытаемся получить численное решение некоторого дифференциального уравнения, желательно знать, имеет ли данное уравнение решение и единственно ли оно, поскольку в случае отсутствия решения любые полученные в результате счета числа бессодержательны, а в случае неединственности решения следует определить, какое же решение выдает вычислительная машина. (Занятно отметить тот удивительный факт, что, как ни странно, многие инженеры и физики попросту отмахиваются от вопросов существования и единственности решения, полагая, что они волнуют лишь математиков. В действительности математики в меньшей степени, чем инженеры, заинтересованы в гарантиях существования и единственности решения, поскольку если инженер выписывает математическое уравнение, которое предполагается разумным приближением реального физического процесса, то, чтобы это уравнение в какой-то мере отражало действительность, оно должно иметь единственное решение. С другой стороны, для математика в равной мере интересна как ситуация, когда решение существует и единственно, так и тот случай, когда это не так.

где суть -мерные векторы. Пусть область в заданная формулой и пусть по всем Имеет место следующая теорема.

Теорема существования и единственности. Если непрерывная функция от и если для любых двух векторов х и у из существует постоянная не зависящая от такая, что

то уравнение (1) обладает единственным решением при всех

Доказательство этой теоремы проводится непосредственно, и его можно найти в литературе, список которой приведен в конце главы. Следует отметить, что условие типа (2) называется условием Липшица, и легко показать, что из него следует непрерывность. Для выполнения этого условия достаточно того, чтобы частные производные функции но были равномерно ограничены в