Понятие кратного корня тесно связано с понятием производной от многочлена. Мы изучаем многочлены с любыми комплексными коэффициентами и поэтому не можем просто воспользоваться понятием производной, введенным в курсе математического анализа. То, что будет сказано ниже, следует рассматривать как независимое от курса анализа определение производной многочлена.

с любыми комплексными коэффициентами. Его производной (первой производной) называется многочлен (n- 1)-й степени

Производная от многочлена нулевой степени и от нуля считается равной нулю. Производная от первой производной называется второй производной от многочлена f(x) и обозначается через f“(x) . Очевидно, что

и по этому , то есть (n+1)-я производная от многочлена n-й степени равна нулю.

Свойства, являющиеся формулами дифференцирования для суммы и произведения:

Эти формулы легко проверить, впрочем, непосредственным подсчетом, беря в качестве и два произвольных многочлена и применяя данное выше определение производной.

Формула (4.2) распространяется на случай произведения любого конечного числа множителей, а поэтому выводится формула для производной от степени:

Доказательство. Используем метод математической индукции.

Если число с является k -кратным корнем многочлена f(x), то при k>1 оно будет (k-1)-кратным корнем первой производной этого многочлена; если же k=1 , то с не будет служить корнем для .

где уже не делится на х-с. Дифференцируя равенство (4.4), получаем:

Первое слагаемое суммы делится на х-с, а второе на х-с не делится; поэтому вся эта сумма на х-с не может делиться. Учитывая, что частное от деления f(x) на определено однозначно, мы получаем, что является наибольшей степенью двучлена х-с, на которую делится многочлен .

Применяя эту теорему несколько раз, мы получаем, что k-кратный корень многочлена f(x) будет (k-s)-кратным в s-й производной этого многочлена и впервые не будет служить корнем для k-й производной от f(x).

Я составила программу для нахождения первой производной многочлена.

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,