по различным траекториям от точки до точки

(вдоль прямой; вдоль ломаной со сторонами параллельно осям координат; по верхней полуокружности).

Преобразуют функцию :

,

.

Проверяют условия Коши-Римана и следующим образом:

,

.

Условия Коши-Римана выполняются. Функция является аналитической на всей комплексной плоскости, следовательно, данный интеграл не зависит от выбора пути интегрирования .

Для вычисления интеграла применяют метод интегрирования по частям и формулу Ньютона-Лейбница:

Теорема Коши для односвязной и для −связной области.

При исследовании поведения функций в ограниченных областях или в окрестностях отдельных точек в различных приложениях интегрального исчисления функций комплексного переменного рассматриваются интегралы по замкнутым кривым – границам областей, в частности окрестности точек.

Пусть непрерывная однозначная аналитическая функция. Для нее выполняются условия Коши-Римана (11):

, .

Известно, что , если выполняется условие (12):

, .

Полученные условия совпадают с условиями Коши-Римана, которые выполняются для функции в силу предположения о том, что функция является аналитической.

Пусть − односвязная область, − любой кусочно-гладкий замкнутый контур, лежащий в области .

Если функция является аналитической в области и на самом контуре, то интеграл по замкнутому контуру равен нулю:

Пусть однозначная функция непрерывна в односвязной области и интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в области от функции , равен нулю, тогда функция является аналитической функцией.

Если область замкнутая односвязная область, функция аналитическая в этой области, то в качестве замкнутого контура можно взять границу области .

Рассмотрим обобщение данной теоремы Коши на многосвязные области, ограниченные не самопересекающимися контуром и простыми замкнутыми контурами , лежащими внутри общего контура и вне друг друга.