Число r — длина радиус-вектора точки M (x, y)является модулем комплексного числа z = x + iy. Обозначается как .

Из рисунка получаем формулу для определения модуля числа, которое задано в алгебраической форме z = x + iy:

Видно, что и лишь для числа .

А это является формулой для расстояния между точками и .

Т.о., число - это расстояние между точками z₁ и z₂ на комплексной плоскости.

1) z₁ и z₂ являются числами действительными, при этом . Значит, ;

2) числа и являются чисто мнимыми, при этом . Значит, , т.е. , либо ;

3) для числа имеем . Поэтому .

Полярный угол φ точки M (x, y) является аргументом комплексного числа z = x + iy. Обозначается как .

Формулу для определения аргумента комплексного числа z = x + iy, который задан в алгебраической форме, получаем, пользуясь связью декартовых и полярных координат точки M (x, y).

Для точек, которые не лежат на мнимой оси, то есть для z, у которых , получаем ; для точек мнимой положительной полуоси, то есть для z, у которых , получаем ; для точек мнимой отрицательной полуоси, то есть для z, у которых , получаем .

Аргумент числа является величиной неопределенной.

Определение аргумента при сводится к решению тригонометрического уравнения . При , то есть когда является числом действительным, у нас есть при и при .

При решение уравнения зависимо от четверти плоскости . Четверть, в которое расположена точка z, определяют по знакам и . В итоге имеем:

.

1) числа и — действительные, причем , поэтому ;

2) числа и — чисто мнимые , причем , поэтому ;

3) для числа имеем , поэтому из находим ; так как при этом (точка находится во второй четверти, то получаем или .

Пример. Найти модуль и аргумент числа .

Находим . Т.к. , то есть точка расположена в 4 четверти, то из равенства получаем .