Пусть функция $f(x): \mathbb\rightarrow \mathbb$ абсолютно интегрируема на любом конечном отрезке $[a,b]$.

то этот предел будем называть интегралом в смысле главного значения и обозначать через $$v.p.\intop_<-\infty>^ <+\infty>f(x)\,dx.$$ Таким образом,

Если $$\intop_<-\infty>^ <\infty>f(x)\,dx$$ сходящийся, то он существует и в смысле главного значения. Обратное утверждение неверно. Ясно, что для любой нечетной, абсолютно интегрируемой на любом конечном отрезке функции интеграл от этой функции в смысле главного значения равен нулю.

Пусть функция $f(x)$ абсолютно интегрируема на отрезке$[a,\beta]$, содержащимся в отрезке $[a,b]$ и $c\overline<\in>[a,\beta]$, $c\in(a,b)$.

Пусть для абсолютно интегрируемой на $\mathbb$ функции $f(x)$ справедливо представление в виде интеграла Фурье, т.е. $\forall x \in \mathbb$ справедливо

Лемма 1. Если $f(x)$ — абсолютно итегрируемая на $\mathbb$, то $a(y)$ и $b(y)$, непрерывны на $\mathbb$.

Так как функция $f(t)$ абсолютно интегрируема, то интервал $(-\infty,+\infty)$ можно разбить на три таких интервала $(-\infty,-c)$,$(-c,c)$ и $(c,+\infty)$, что по бесконечным интервалам интегралы от функции

$\mid f(x) \mid$ меньше либо равны $\frac<\varepsilon><3>$. Второй интеграл в формуле (2) меньше, чем

и, следовательно $\exists\delta>0$что при $\mid \triangle y \mid < \delta$ второй интеграл в формуле(1) меньше $\frac<\varepsilon><3>$. Из (*) следует, что при $\mid \triangle y \mid < \delta$

приращение $\mid \triangle a(y) \mid < \varepsilon$. Рассмотрим несобственный интеграл

В силу леммы 1 функция $K(y)$ непрерывна на $\mathbb$. Так как функция $K(y)$ нечетна, то

(4) получается умножением равенства (3) на мнимую единицу, сложить его с равенством (4) и воспользоваться формулами Эйлера

Аналогично получается (5). Интеграл, стоящий в праваой части равенства (4), называется интегралом Фурье $f(x)$ в комплексной форме.

Интеграл Фурье в комплексной форме может быть написан и для комплекснозначной абсолютно интегрируемой функции $f(x)=f_<1>(x)+if_<2>(x)$. Если для действительной и мнимой части функции $f(x)$, т.е. для $f_<1>(x)$ и $f_<2>(x)$, справедливо представление (4) интегралом Фурье, то очевидно, что такое представление справедливо и для функции $f(x)=f_<1>(x)+if_<2>(x).$