Теорема 3. Если функция \(y=f(x)\) имеет экстремум в точке x = x 0 , то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Теорема 4 (достаточные условия экстремума). Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке \(X\) и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x = x 0 . Тогда:

а ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x 0 выполняется неравенство f ′ ( x ) < 0 , а при x > x 0 — неравенство f ′ ( x ) > 0 , то x = x 0 — точка минимума функции y = f ( x ) );

б ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x 0 выполняется неравенство f ′ ( x ) > 0 , а при x > x 0 — неравенство f ′ ( x ) < 0 , то x = x 0 — точка максимума функции y = f ( x ) ) ;

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от точки x 0 знаки производной одинаковы, то в точке x 0 экстремума нет.

Для удобства условимся внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называть стационарными , а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, — критическими .

Итак, чтобы определить экстремумы (минимумы и максимумы) функции f ( x ) , сначала нужно найти критические точки, в которых f ′ ( x ) = 0 или же производная не существует (и которые принадлежат области определения функции). Тогда легко определить интервалы, в которых у производной неизменный знак. (Критические (стационарные) точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.)

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f ( x ) на монотонность и экстремумы:

3. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

4. Опираясь на теоремы 1, 2 и 4, сделать выводы о монотонности функции и о ее точках экстремума.

Значит: если производная функции в критической точке