Выяснить геометрический смысл коэффициентов A, B и C в общем уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

1. Рассмотрим вектор с проекциями на координатные оси, соответственно равными A, B и C, т. е. .

2. Возьмем на плоскости Ax + By + Cz + D = 0 две произвольные точки M(x₁, y₁, z₁) и N(x₂, y₂, z₂) и рассмотрим вектор . Этот вектор лежит в плоскости Ax + By + Cz + D = 0. Его проекции на координатные оси соответственно равны x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁ и .

3. Так как точки M и N лежат в плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то имеют место равенства

Скалярное произведение вектора на вектор равно

Так как на основании (1) это скалярное произведение равно нулю, то вектор перпендикулярен вектору , а тем самым и той плоскости, в которой лежит этот вектор, т. е. вектор перпендикулярен плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

Геометрическое значение коэффициентов A, B и C в общем уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0 состоит в том, что они являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz вектора, перпендикулярного этой плоскости.