Теорема 1 . (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

Þ .

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f ( x ) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g ( x ) , то предел функции f ( x ) в этой точке не превосходит предела функции g ( x ) .

Þ .

Доказательство. f ( x )=с , докажем, что .

Возьмем произвольное e >0. В качестве d можно взять любое

положительное число. Тогда при

и .

f ( x )- A = - б.м. при ,

f ( x )- B = - б.м. при .

Вычитая эти равенства, получим:

B - A = - .

Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем:

B - A =0, т.е. B = A . Получаем противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Доказательство. Пусть , , .

где - б .м . при .

f ( x )+ g ( x )- h ( x )-(А+В-С)= ,

где б .м . при .

А+В-С= .

Теорема 6 . Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела .

.

Теорема 7 . Если функции f ( x ) и g ( x ) имеют предел при ,

причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.