Определение 6.1 Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.

Пусть n> является числовой последовательностью, такой, что

Определение 6.2 Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.

Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.

Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем

Видно, что модуль общего члена не стремится к нулю при n > ?. Поэтому данный ряд расходится

Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?

Применяя признак Даламбера к ряду, составленному из модулей соответствущих членов, находим

Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?

Сначала воспользуемся признаком Лейбница и найдем предел . Вычислим этот предел по правилу Лопиталя:

Общий член данного ряда равен . Применим признак Даламбера к ряду , составленному из модулей:

Исследовать, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?

Применяя признак Лейбница, видим, что ряд является сходящимся:

Рассмотрим теперь сходимость ряда , составленного из модулей соответствующих членов. Используя интегральный признак сходимости, получаем

Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?

Следовательно, данный ряд сходится. Выясним, является ли эта сходимость абсолютной или условной. Воспользуемся предельным признаком сравнения и сравним соответствующий ряд из модулей с расходящимся гармоническим рядом :

Поскольку ряд , составленный из модулей, расходится, то исходный знакочередующийся ряд является условно сходящимся.