Правило (2) предыдущего параграфа дает нам право определить экспоненту чисто мнимого числа:

Действительно, таким образом определенная функция обладает следующими свойствами:

Здесь первое равенство есть частный случай (2) предыдущего параграфа, когда , второе равенство есть не что иное как формула Муавра, а третье равенство вытекает из периодичности гармоник. Заметим, что никакой коллизии в обозначения в связи с известной экспонентой действительной переменной не возникает; равенство аргументов возможно лишь если . Но тогда определение (1) комплексной экспоненты дает нам значение , что совпадает с известным равенством .

Определение (1) позволяет записать ненулевое комплексное число в показательной форме

В таком виде легче оперировать с комплексными числами, когда речь идет об умножении, делении и возведении в степень. Например,

Определим теперь комплексную экспоненту для любого комплексного числа

Функция будет уже функцией комплексного переменного. Для нее справедливы свойства

Е2. ;

Е3. —«школьная экспонента»

Е4. Комплексная экспонента периодична с периодом

Е5. Область значений – все комплексные числа, кроме нуля

C помощью комплексной экспоненты легко извлекаются корни из комплексных чисел. Решим уравнение . Если w=0, то имеется только один нулевой корень кратности n. Пусть . Запишем в показательном виде , где . Найдем арифметический корень n-ой степени из r и обозначим его . Тогда уравнение имеет n корней, расположенных на окружности радиуса в вершинах правильного n-угольника

/*/ Действительно, применяя формулу Муавра, легко проверить, что все — корни уравнения Пусть – какой-либо корень уравнения . Тогда . Приравнивая модули, получаем равенство . Сокращая на и деля на , получим откуда и . Это значит, что для некоторго целого . Поделим на с остатком: , где . Тогда

и . Следовательно, .

Корни (3) расположены в вершинах правильного — угольника, вписанного в окружность радиуса , имеющей центр в нулевой точке.

Например, найдем корни уравнения . Здесь арифметический корень шестой степени из 64 равен 2, а агрумент равен нулю. Следовательно, корни имеют вид

Предложение 1. Пусть – последовательность комплексных чисел, . Тогда