называется положительным, если все его члены неотрицательные

Для определения сходимости в литературе собраны правила которые позволяют это быстро определить. Рассмотрим по очереди признаки сходимости числовых рядов

1. Если члены ряда не больше соответствующих членов сходящегося ряда ( ) то ряд сходится.

Если каждый член ряда больше (или ровный) соответствующего члена росходящегося ряда то ряд разбегается.

с рядом геометрической прогрессии знаменатель которой равен

Каждый член первого ряда меньше соответствующего член ряда геометрической прогрессии, который сбегается, поскольку

2) Члена данного ряда сравниваем с соответствующими гармонического ряда. Для произвольного выполняется неравенство

Так как гармонический ряд разбежный то в соответствии с признаком сравнения заданный ряд также разбежный.

Пусть ряды и положительные, а также существует предельная граница

причем , тогда оба ряда или одновременно совпадающие или одновременно разбежные.

Для сравнения выберем ряд совпадающей геометрической прогрессии. Применяя предельный признак будем иметь

Поскольку оба ряды ведут себя равносильно , а геометрический ряд сходится, то и рассмотренный ряд также сходится.

положительные и отношение -го члена до -го имеет предел при

Если то ряд сходится,

если - ряд расходится.

При надо применять другой признак сходимости, поскольку данный признак не может определить сходится ряд или расходится.

1) Найдем границу отношения члена до -го при

Поскольку то ряд сходится.

Ряд сходящийся, так как

Видим что ряд сходящийся поскольку

Если для ряда положительными членами существует граница

то при ряд сходится, а при - разбегається.

При нужно применять другой признак сходимости.

Ряд совпадающий поскольку

Данный ряд также совпадающий, поскольку

причем функция положительная, непрерывная и монотонно нисходящая функция от переменной . Тогда

1) ряд совпадающий, если несвойственный интеграл

Под сходимостью интегралу следует понимать его ограниченность, то есть

Рассмотрим примеры применения интегрального признака Коши.