Сравнение бесконечно-малых функций. Определение 1. является в т. бесконечно-малой более высокого порядка, чем , если Определение 2. и - бесконечно-малые одного порядка, если (и конечен) Определение 3. и - эквивалентны, если Пример. т. 0. одного порядкаТеорема 1. (о. [читать подробнее].

Пусть и - функции, для которых существуют пределы при (или при ): , . Сформулируем основные теоремы о пределах. 1. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, то есть . 2. Предел произведения конечного числа функций равен. [читать подробнее].

Теорема 14.1. Если существуют и , то существует и Доказательство. Используя третье определение предела, представим f(x)=A+&. [читать подробнее].

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда x &. [читать подробнее].

1) Теорема о пределе суммы: Пусть lim an=a lim bn=b Þ lim an+bn=a+b n®+¥ n®+¥ n®+¥ Докозательство: an=a+an bn=b+bn Сложим an+bn=a+b+an+bn=a+b+jn Ûlim an+bn=a+b n®+¥ 2) Теорема о произведение пределов: Пусть lim an=a lim bn=b Þ lim anbn=ab n®+¥ n®+¥ n®+¥ Доказательство: an=a+an bn=b+bn Þ anbn=(a+an)(b+bn). [читать подробнее].

1) Теорема о пределе суммы: Пусть lim an=a lim bn=b Þ lim an+bn=a+b n®+¥ n®+¥ n®+¥ Докозательство: an=a+an bn=b+bn Сложим an+bn=a+b+an+bn=a+b+jn Ûlim an+bn=a+b n®+¥ 2) Теорема о произведение пределов: Пусть lim an=a lim bn=b Þ lim anbn=ab n®+¥ n®+¥ n®+¥ Доказательство: an=a+an bn=b+bn Þ anbn=(a+an)(b+bn). [читать подробнее].

Теорема 1. , где С = const. Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а. Теорема 2. Доказательство этой теоремы будет приведено ниже. Теорема 3. Следствие. Теорема 4. при Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то. [читать подробнее].

Теорема: если существует и и они равны между собой, то существует = . Теорема:если , , то => 1) 2) 3) Примечание 1: 1-е и 2-е свойства распространяются на любое конечное число слагаемых или сомножителей, однако число слагаемых и сомножителей не может быть . Примечание 2. [читать подробнее].

1. Предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций, т.е. 2. Предел произведения конечного числа функций равен произведению их пределов, т.е. Следствие. Если , то . 3. Предел частного равен частному пределов , если предел. [читать подробнее].